有限阿贝尔群元素阶之和

设 $\psi(G) = \sum_{g \in G} o(g)$ 表示有限群 $G$ 中元素阶的和。已知在阶为 $n$ 的群中，循环群 $C_n$ 可最大化 $\psi$。T\u{a}şrăuceanu 证明了两个同阶的有限阿贝尔 $p$ 群若且仅当它们具有相同的阶之和，则它们同构，并 conjectured 这一结果适用于任意有限阿贝尔群。本文通过证明更强的结果来确认该猜想：对于同阶的有限 $LCM$-群 $G$ 和 $H$，若 $\psi(G) = \psi(H)$，则 $G$ 和 $H$ 具有相同的阶类型。