关于有限群元素阶之和的一个结果

设 $G$ 为有限群且 $\psi(G)=\sum_{g\in{G}}{o(g)}$。已有一些关于 $\psi(G)$ 与 $G$ 结构之间关系的结果。例如，已证明若 $G$ 是阶为 $n$ 的群且 $\psi(G)>\dfrac{211}{1617}\psi(C_n)$，则 $G$ 可解。Herzog 等人在 [Herzog 等人，有限群可解性的两个新判据，J. Algebra，2018] 提出如下猜想：\noindent{\bf 猜想.} {\it 若 $G$ 是阶为 $n$ 的非可解群，则 $${\psi(G)}\,{\leq}\,{{\dfrac{211}{1617}}{\psi(C_n)}}$$ 且等号成立当且仅当 $G=A_5$。特别地，该不等式对所有非交换单群成立。} 本文中，我们证明了 Herzog 猜想的一个修正版本。