奇阶群中元素阶之和

记$G$为有限群，$\psi(G)$为$G$中元素阶之和。若$t$为正整数，记$C_t$为$t$阶循环群，并记$\psi(t)=\psi(C_t)$。本文证明了如下定理A：设$G$为奇阶$n=qm$的非循环群，其中$q$为$n$的最小素因子且$(m,q)=1$。则以下结论成立。(1) 若$q=3$，则$\frac {\psi(G)}{\psi(|G|)}\leq \frac {85}{301}$，且等号成立当且仅当$n=3\cdot 7\cdot m_1$，$(m_1,42)=1$且$G=(C_7\rtimes C_3)\times C_{m_1}$，其中$C_7\rtimes C_3$非交换。(2) 若$q>3$，则$\frac {\psi(G)}{\psi(|G|)}\leq \frac {p^4+p^3-p^2+1}{p^5+1}$，其中$p$为大于$q$的最小素数，且等号成立当且仅当$n=qp^2m_1$，$(m_1,p!)=1$且$G=C_q\times C_p\times C_p \times C_{m_1}$。