关于有限群到具有元素阶整除性的非循环群的双射

考虑一个阶为 $n$ 且具有素因子 $p$ 的有限群 $G$。在本文中，我们建立了如下结果（among other results）：如果 $G$ 的 Sylow $p$-子群既不是循环群也不是广义四元数群，则存在一个从 $G$ 到阿贝尔群 $C_{\frac{n}{p}}\times C_p$ 的双射 $f$，使得对于 $G$ 中的每个元素 $x$，$x$ 的阶整除 $f(x)$ 的阶。这解决了文献 [15] 中提出的问题 1.5。作为我们结果的应用，我们表明，在所有阶为 $n$ 的有限群集合中，元素阶之和第三大的群是一个可解的 $p$-幂零群，其中 $p$ 是 $n$ 的最小素因子，且其 Sylow $p$-子群不是循环群。