非循环有限群中元素阶之和的精确上界

设有限群 $G$ 的元素阶之和为 $\psi(G)$，并设 $C_n$ 为阶为 $n$ 的循环群。假设 $G$ 是阶为 $n$ 的非循环有限群，且 $q$ 是 $n$ 的最小素因子。我们证明了 $\psi(G)\leq\frac 7{11}\psi(C_n)$ 且 $\psi(G)<\frac 1{q-1}\psi(C_n)$。第一个结果是最佳的，因为对于每个 $n=4k$（$k$ 为奇数），存在一个阶为 $n$ 的群 $G$ 满足 $\psi(G)=\frac 7{11}\psi(C_n)$；而第二个结果意味着如果 $G$ 是奇数阶的，则 $\psi(G)<\frac 12\psi(C_n)$。我们的结果改进了 H. Amiri、S.M. Jafarian Amiri 和 I.M. Isaacs 于 2009 年获得的不等式 $\psi(G)<\psi(C_n)$，以及 S.M. Jafarian Amiri 和 M. Amiri 于 2014 年、R. Shen、G. Chen 和 C. Wu 于 2015 年获得的其他结果。此外，我们获得了基于 $\psi(G)$ 的关于 $G$ 可解性的若干充分条件。