关于元素阶之和的第二极大群

记 $G$ 为有限群，令 $\psi(G)$ 表示 $G$ 中元素阶之和。2009 年，H.Amiri、S.M.Jafarian Amiri 与 I.M.Isaacs 证明：若 $|G|=n$ 且 $G$ 非循环，则 $\psi(G)<\psi(C_n)$，其中 $C_n$ 表示 $n$ 阶循环群。2018 年我们证明：若 $G$ 为 $n$ 阶非循环群，则 $\psi(G)\leq \frac 7{11}\psi(C_n)$，且当 $n=4k$、$(k,2)=1$ 且 $G=(C_2\times C_2)\times C_k$ 时取等号。本文证明了等号成立当且仅当 $n$ 与 $G$ 如上所示。此外我们证明了该结果的如下推广：定理 4. 设 $q$ 为素数，$G$ 为 $n$ 阶非循环群，且 $q$ 为 $n$ 的最小素因子。则 $\psi(G)\leq \frac {((q^2-1)q+1)(q+1)}{q^5+1}\psi(C_n)$，且等号成立当且仅当 $n=q^2k$、$(k,q)=1$ 且 $G=(C_q\times C_q)\times C_k$。注意若 $q=2$，则 $\frac {((q^2-1)q+1)(q+1)}{q^5+1}=\frac 7{11}$。