阶为 $n=p^\alpha q^\beta$ 的循环群上长度为四的极小零和序列

设 $G$ 为有限循环群。$G$ 上的任意序列 $S$ 均可写为 $S=(n_1g)\cdot...\cdot(n_kg)$ 的形式，其中 $g\in G$ 且 $n_1,\cdots,n_k\in[1,{\hbox{\rm ord}}(g)]$，序列 $S$ 的指数 $\ind S$ 定义为对所有满足 $\langle g\rangle=G$ 的 $g\in G$ 取 $(n_1+\cdots+n_k)/\hbox{\rm ord}(g)$ 的最小值。一个猜想指出，若有限群 $G$ 满足 $\gcd(|G|,6)=1$，则对任意极小零和序列 $S$ 均有 $\ind(S)=1$。本文证明了当 $|G|$ 具有两个素因子时，该猜想成立。