关于完全加权零和子序列的个数

设 $G$ 为指数为 $n$ 的有限加法阿贝尔群，$S=g_{1}\cdots g_{t}$ 为 $G$ 中元素的一个序列。对 $G$ 的任意元素 $g$ 和 $A\subseteq\{1,2,\ldots,n-1\}$，令 $N_{A,g}(S)$ 表示 $S$ 的子序列 $T=\prod_{i\in I}g_{i}$ 的个数，使得 $\sum_{i\in I}a_{i}g_{i}=g$，其中 $I\subseteq\left\{ 1,\ldots,t\right\}$ 且 $a_{i}\in A$。本文中，当 $A=\left\{ 1,\ldots,n-1\right\}$ 时，我们证明 $N_{A,0}(S)\geq2^{|S|-D_{A}(G)+1}$，其中 $D_{A}(G)$ 是最小正整数 $l$，使得 $G$ 上长度至少为 $l$ 的每个序列 $S$ 都有非空子序列 $T=\prod_{i\in I}g_{i}$ 满足 $\sum_{i\in I}a_{i}g_{i}=0$，$I\subseteq\left\{ 1,\ldots,t\right\}$ 且 $a_{i}\in A$。此外，当 $G$ 的指数为奇数时，我们对满足 $N_{A,0}(S)=2^{|S|-D_{A}(G)+1}$ 的序列进行了分类。