Gao 两个定理的加权推广

设 $G$ 为有限阿贝尔群，$A\subseteq \mathbb{Z}$ 为非空集合。令 $D_A(G)$ 表示这样的最小整数：任何长度为 $D_A(G)$ 的 $G$ 上的序列必定包含一个非平凡子序列 $s_1... s_r$，使得对某个 $w_i\in A$ 有 $\sum_{i=1}^{r}w_is_i=0$。令 $E_A(G)$ 表示这样的最小整数：任何长度为 $E_A(G)$ 的 $G$ 上的序列必定包含一个长度为 $|G|$ 的子序列 $s_1... s_{|G|}$，使得对某个 $w_i\in A$ 有 $\sum_{i=1}^{|G|}w_is_i=0$。在本文中，我们证明了 $$E_A(G)=|G|+D_A(G)-1,$$ 证实了 Thangadurai 的猜想以及 Adhikari 等人的预期。$A=\{1\}$ 的情况是 Gao 的一个早期结果，而我们的结果推广了 Adhikari、Rath、Chen、David、Urroz、Xia、Yuan、Zeng 和 Thangadurai 所做的许多部分工作。此外，在适当的重数限制下，我们证明了不仅零可以以这种方式表示，而且整个非平凡子群也可以；如果该子群不是全群 $G$，我们获得了该序列的结构信息，推广了 Gao 的另一个无权重结果。除了 $n=|G|$ 的情况外，我们的完整定理对 $n\geq |G|$ 的更一般的 n-和同样成立。