关于 Zhuang 与 Gao 一个猜想的注记

设 $G$ 为乘法书写的有限群。我们以 $\mathsf E(G)$ 表示最小整数 $t$，使得 $G$ 中每个长度为 $t$ 的序列都含有一个长度为 $|G|$ 的乘积为幺子序列。1961 年，Erd\H{o}s、Ginzburg 与 Ziv 证明了对每个有限交换群 $G$ 有 $\mathsf E(G)\leq 2|G|-1$，该结果即著名的 Erd\H{o}s–Ginzburg–Ziv 定理。2005 年，Zhuang 与 Gao 猜想 $\mathsf E(G)=\mathsf d(G)+|G|$，其中 $\mathsf d(G)$ 为小 Davenport 常数。本文中，我们证实了当 $G=\langle x, y| x^p=y^m=1, x^{-1}yx=y^r\rangle$（其中 $p$ 为 $|G|$ 的最小素因子且 $\mbox{gcd}(p(r-1), m)=1$）时该猜想成立。