关于小 Davenport 常数的 Bass 猜想

设 $G$ 为有限群。$G$ 的小 Davenport 常数 $\mathsf d(G)$ 是最大整数 $\ell$，使得在 $G$ 上存在一个长度为 $\ell$ 且没有非空乘积为一子序列的序列。2007 年，Bass 猜想 $\mathsf d(G_{m,n})=m+n-2$，其中 $G_{m,n}=\langle x, y| x^m=y^n=1, x^{-1}yx=y^s\rangle$，且 $s$ 模 $n$ 的阶为 $m$。在本文中，我们对任何满足附加条件（即对于 $n$ 的每个素因子 $q$，$s$ 模 $q$ 的阶为 $m$）的群 $G_{m,n}$ 证实了该猜想。此外，我们解决了相关的反问题，刻画了任何具有极值长度 $\mathsf d(G_{m,n})$ 的乘积为一自由序列的结构。我们的结果推广了关于该问题的一些已有定理。