$C_m\ltimes_{\varphi} C_{mn}$ 的 Erd\H{o}s-Ginzburg-Ziv 定理与 Noether 数

设 $G$ 为有限乘法群，$S=a_1\cdot\ldots\cdot a_k$ 为 $G$ 上的序列。若存在 $\{1,\ldots,k\}$ 的某个置换 $\tau$ 使得 $1=\prod_{i=1}^ka_{\tau(i)}$ 成立，则称 $S$ 为积一序列。小 Davenport 常数 $\mathsf d(G)$ 定义为 $G$ 上无积一子序列的最大长度。对于子集 $L\subset \mathbb N$，令 $\mathsf s_L(G)$ 表示最小的 $l\in\mathbb N_0\cup\{\infty\}$，使得 $G$ 上任何长度 $|S|\ge l$ 的序列 $S$ 都包含一个长度 $|T|\in L$ 的积一子序列 $T$。记 $\mathsf e(G)=\max\{\text{ord}(g): g\in G\}$。一些经典的积一（零和）不变量，包括 $\mathsf D(G):=\mathsf s_{\mathbb N}(G)$（当 $G$ 为阿贝尔群时）、$\mathsf E(G):=\mathsf s_{\{|G|\}}(G)$、$\mathsf s(G):=\mathsf s_{\{\mathsf e(G)\}}(G)$、$\eta(G):=\mathsf s_{[1,\mathsf e(G)]}(G)$ 和 $\mathsf s_{d\mathbb N}(G)$（$d\in\mathbb N$），已受到广泛研究。与零和理论密切相关的 Noether 数 $\beta(G)$ 定义为多项式不变量代数生成元的最大次数界。令 $G\cong C_m\ltimes_{\varphi} C_{mn}$，本文证明了 $$\mathsf E(G)=\mathsf d(G)+|G|=m^2n+m+mn-2$$ 且 $\beta(G)=\mathsf d(G)+1=m+mn-1$。我们还证明了 $\mathsf s_{mn\mathbb N}(G)=m+2mn-2$ 并给出了 $\eta(G)$ 和 $\mathsf s(G)$ 的上界。此外，若 $G$ 是非循环幂零群且 $p$ 是 $|G|$ 的最小素因子，我们证明了 $\beta(G)\le \frac{|G|}{p}+p-1$，除非 $p=2$ 且 $G$ 为双循环群，此时 $\beta(G)=\frac{1}{2}|G|+2$。