关于 Davenport 常数的下界

设 $G = C_{n_1} \oplus \cdots \oplus C_{n_r}$，其中 $1 < n_1 | \cdots | n_r$ 为有限 Abel 群。Davenport 常数 $\mathsf D(G)$ 是最小整数 $t$，使得每个长度 $|S|\ge t$ 的 $G$ 上序列 $S$ 都有非空零和子序列。它是零和理论的起点，但只有一个平凡下界 $\mathsf D^*(G) = n_1 + \cdots + n_r - r + 1$，该下界在 $p$-群上等于 $\mathsf D(G)$。我们研究群 $C_n^r$ 上的非离散序列，从而揭示在非 $p$-群 $G = C_n^r \oplus C_{kn}$（$n,k \ne 1$）上 $\mathsf D(G)-\mathsf D^*(G)$ 的增长。我们给出非 $p$-群上 $\mathsf D(G)$ 的一般下界，并表明：设 $G$ 为 $\exp(G)=m$、秩为 $r$ 的 Abel 群，固定 $m>0$ 为非素数幂，则对每个 $N>0$ 存在 $\varepsilon>0$，使得若 $|G|/m^r<\varepsilon$，则 $\mathsf D(G)-\mathsf D^*(G)>N$。