$C_n^k$ 中的 $\{1,s\}$-加权 Davenport 常数

设 $G$ 为有限阿贝尔群,且 $\varnothing \neq A \subset \mathbb Z$。$G$ 的 $A$-加权 Davenport 常数是最小正整数 ${\sf D}_A(G)$,使得 $G$ 上的每个序列 $x_1 \boldsymbol{\cdot} {\dots} \boldsymbol{\cdot} x_{{\sf D}_A(G)}$ 都有一个非空子序列 $(x_{j_i})_i$,满足对于某些 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, {\dots}, \varepsilon_t \in A$,有 ${\varepsilon_1} x_{j_1} + {\varepsilon_2} x_{j_2} + {\dots} + {\varepsilon_t} x_{j_t} = 0$。在本文中,我们获得了 ${\sf D}_{\{1,s\}}(C_n^k)$ 的上下界,其中 $C_n$ 表示阶为 $n$ 的循环群,$s^2 \equiv 1 \pmod n$ 且 $s \not\equiv \pm1 \pmod n$。这些界在一些“小”情形下变得紧致。