二面体群与双循环群中的极值无乘积为1序列

设 $G$ 为一个有限群，以乘法记。 $G$ 的 Davenport 常数 $D(G)$ 是最小的正整数，使得 $G$ 的每个长度为 $D(G)$ 的序列都有一个乘积为 $1$ 的非空子序列。设 $D_{2n}$ 为阶为 $2n$ 的二面体群，$Q_{4n}$ 为阶为 $4n$ 的双循环群。 J. J. Zhuang 和 W. Gao (European J. Combin. 26 (2005), 1053-1059) 证明了 $D(D_{2n}) = n+1$，J. Bass (J. Number Theory 126 (2007), 217-236) 证明了 $D(Q_{4n}) = 2n+1$。在本文中，我们给出了 $G$ 的所有序列 $S$ 的明确刻画，其中 $|S| = D(G) - 1$ 且 $S$ 不含乘积为 $1$ 的子序列，这里 $G$ 等于某个 $n$ 的 $D_{2n}$ 或 $Q_{4n}$。