大 Davenport 常数 I：具有循环指数 2 子群的群

设 $G$ 为一个有限群，采用乘法记号。$G$ 上的序列是指由 $G$ 中项组成的有限序列，它是无序的且允许项重复；如果其项可以排序使得它们的乘积为 $G$ 的单位元，则称其为积一序列。小 Davenport 常数 $\mathsf d (G)$ 是最大的整数 $\ell$，使得存在一个长度为 $\ell$ 的 $G$ 上序列，该序列没有非平凡的积一子序列。大 Davenport 常数 $\mathsf D (G)$ 是最小积一序列的最大长度——即不能分解为两个非平凡积一子序列的积一序列。容易观察到 $\mathsf d(G)+1\leq \mathsf D(G)$，且若 $G$ 是阿贝尔群，则等式成立。然而，对于非阿贝尔群，这些常数可能显著不同。现假设 $G$ 拥有一个循环指数 2 子群。那么 Olson 和 White 的一个旧结果（可追溯至 1977 年）表明，若 $G$ 是非循环群，则 $\mathsf d(G)=\frac12|G|$；若 $G$ 是循环群，则 $\mathsf d(G)=|G|-1$。在本文中，我们确定了此类群的大 Davenport 常数，证明了 $\mathsf D(G)=\mathsf d(G)+|G'|$，其中 $G'=[G,G]\leq G$ 是 $G$ 的换位子群。