有限阿贝尔p-群上长度为kq的零和子序列

对于有限阿贝尔群 $G$ 和正整数 $k$，令 $s_{k}(G)$ 表示最小整数 $\ell\in\mathbb{N}$，使得任意长度为 $|S|\geq\ell$ 的 $G$ 中元素序列 $S$ 都有一个长度为 $k$ 的零和子序列。著名的 Erdős-Ginzburg-Ziv 定理确定了循环群 $C_{n}$ 的 $s_{n}(C_{n})=2n-1$，而 Reiher 在 2007 年证明了 $s_{n}(C_{n}^{2})=4n-3$。在本文中，对于指数为 $\exp(G)=q$ 的 $p$-群 $G$，我们证明了当 $k\geq d$ 时的上界 $s_{kq}(G)\le(k+2d-2)q+3D(G)-3$，其中 $d=\Big\lceil\frac{D(G)}{q}\Big\rceil$ 且 $p$ 是满足 $p\ge2d+3\Big\lceil\frac{D(G)}{2q}\Big\rceil-3$ 的素数，这里 $D(G)$ 是有限阿贝尔群 $G$ 的 Davenport 常数。这在 $k$ 和 $d$ 上都是正确的增长阶。作为推论，我们证明了当 $k\geq p+d$ 且 $2p\geq7d-3$ 时 $s_{kq}(C_{q}^{d})=(k+d)q-d$，解决了 Gao、Han、Peng 和 Sun 猜想的一个情形，即每当 $k\exp(G)\geq D(G)$ 时有 $s_{k\exp(G)}(G)=k\exp(G)+D(G)-1$。我们还得到了对于具有大素因子且 $k$ 足够大的 $n$ 的一般界 $s_{kn}(C_{n}^{d})\leq9kn$。我们的方法受 Kubertin 代数方法的启发，其证明了当 $k\geq d$ 且 $q$ 为素数幂时 $s_{kq}(C_{q}^{d})\leq(k+Cd^{2})q-d$。