Erd\H{o}s-Ginzburg-Ziv 常数的指数界

阿贝尔群 $G$ 的 Erd\H{o}s-Ginzburg-Ziv 常数（记为 $\mathfrak{s}(G)$）是指最小的 $k\in\mathbb{N}$，使得 $G$ 中任意长度为 $k$ 的序列都包含一个长度为 $\exp(G)$ 的零和子序列。在本文中，我们利用推广了切片秩（slice rank）的划分秩（partition rank），证明了对于任意奇素数 $p$，有 $$\mathfrak{s}\left(\mathbb{F}_{p}^{n}\right)\leq(p-1)2^{p}\left(J(p)\cdot p\right)^{n}$$ 其中 $0.8414<J(p)<0.91837$ 是 Ellenberg 和 Gijswijt 关于 $\mathbb{F}_{p}^{n}$ 中无算术级数子集界限中出现的常数。对于较大的 $n$ 且 $p>3$ 的情况，这是对平凡界限的首次指数级改进。我们还基于 $\left(\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}\right)^{n}$ 满足性质 $D$ 的猜想，提供了一个近乎最优的结果，表明在此情况下 $$\mathfrak{s}\left(\left(\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}\right)^{n}\right)\leq(k-1)4^{n}+k.$$