凸几何与Erdős-Ginzburg-Ziv问题

记${\mathfrak s}({\mathbb F}_p^d)$为${\mathbb F}_p^d$的Erd{\H o}s--Ginzburg--Ziv常数，即任一包含$s$个${\mathbb F}_p^d$中向量的序列都包含$p$个和为零的向量的最小$s$。令${\mathfrak w}({\mathbb F}_p^d)$为向量序列$v_1, \ldots, v_s \in {\mathbb F}_p^d$的最大长度，使得对任意和等于$p$的非负整数$\alpha_1, \ldots, \alpha_s \ge 0$，除非某个$i$满足$\alpha_i = p$，否则有$\alpha_1 v_1 + \ldots + \alpha_s v_s \neq 0$。1995年，Alon--Dubiner证明了当$d$固定时${\mathfrak s}(\mathbb F_p^d)$随$p$线性增长。本文中，我们确定了该线性常数：对固定的$d$与增长的$p$，我们证明${\mathfrak s}({\mathbb F}_p^d) \sim {\mathfrak w}({\mathbb F}_p^d) p$。此外，对任意$p$与$d$，我们证明${\mathfrak w}({\mathbb F}_p^d) \le {2d-1 \choose d}+1$。特别地，对所有足够大的$p$与固定的$d$有${\mathfrak s}({\mathbb F}_p^d) \le 4^d p$。