关于$\mathbb{F}_p^{n}$中无$p$个不同元素和为零的子集大小

让我们固定一个素数$p$。Erdős-Ginzburg-Ziv问题询问最小整数$s$，使得格$\mathbb{Z}^n$中任意$s$个点的集合都包含$p$个点，其质心也是$\mathbb{Z}^n$中的格点。对于大$n$，这本质上等价于询问$\mathbb{F}_p^n$中无$p$个不同元素和为零的子集的最大大小。在本文中，我们对任意固定素数$p\geq 5$和大$n$给出了该问题的新上界。特别地，我们证明$\mathbb{F}_p^n$中任意无$p$个不同元素和为零的子集大小至多为$C_p\cdot \left(2\sqrt{p}\right)^n$，其中$C_p$为仅依赖于$p$的常数。当$p$和$n$趋于无穷时，我们的界形如$p^{(1/2)\cdot (1+o(1))n}$，而所有先前已知的上界形如$p^{(1-o(1))n}$(平凡界为$p^n$)。我们的证明使用了所谓的多色无和定理，该定理是Croot-Lev-Pach多项式方法的一个推论。该方法及其推论已被Naslund以及Fox和本文作者应用于证明本文所研究问题的界。然而，利用一些关键的新思想，我们显著改进了他们的界。