高维情形下的 Erdős–Ginzburg–Ziv 问题

Erdős–Ginzburg–Ziv 问题是离散几何中的一个经典极值问题。给定 $m$ 和 $n$，该问题询问最小的数 $s$，使得在整数格 $\mathbb{Z}^n$ 中任意 $s$ 个点中都能找到 $m$ 个点，其质心仍是格点。尽管过去 50 年备受关注，该问题远未被充分理解。对于固定维数 $n$，Alon 和 Dubiner 证明了答案随 $m$ 线性增长。在本文中，我们关注相反的情形，即数 $m$ 固定而维数 $n$ 很大。我们大幅改进了该情形下先前的上界，证明了对每个 $\varepsilon>0$，对所有 $m$ 和 $n$，答案至多为 $D_{\varepsilon,m}\cdot (C_{\varepsilon}m^{\varepsilon})^n$。我们的证明结合了（作为推论的）切片秩多项式方法与 Borenstein 和 Croot 给出的 Balog–Szemerédi–Gowers 定理的更高一致性版本。