Z/pZ中的加法定理与极大零和自由集

利用加性数论中的多项式方法，本文为满足$A\cap(-A)=\emptyset$的集合$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$的子集和集建立了一个新的加法定理：$$|\Sigma(A)|\geqslant\min{p,1+\frac{|A|(|A|+1)}{2}}.$$ 该证明在本质上类似于Alon、Nathanson和Ruzsa对Erdős-Heilbronn猜想(最初由Dias da Silva和Hamidoune证明\cite{DH})的证明。该定理证明中的一个关键点是评估某些二项式行列式，这些行列式已在Gessel和Viennot的工作中得到研究。推导出该定理到序列子集和集的一个推广，从而得到关于零和自由序列的一个结构结果。作为另一个应用，证明了对于任意素数$p$，$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$中的极大零和自由集的基数是满足$$\frac{k(k+1)}{2}<p$$的最大整数$k$，从而证明了Selfridge在1976年提出的一个猜想。