$\mathbb{F}_{p}^{2}$ 中零和子集的多项式方法

本文中，我们证明 $\mathbb{F}_p^2$ 的每个与所有 $p+1$ 条过原点的直线相交的子集都有一个零和子集。这一结论的动机来自 Gao、Ruzsa 和 Thangadurai 的一个结果，该结果指出对于足够大的素数 $p$，有 $OL(\mathbb{F}_{p}^{2})=p+OL(\mathbb{F}_{p})-1$。此处 $OL(G)$ 表示加法群 $G$ 的所谓 Olson 常数，代表使得不存在基数为 $OL(G)$ 且无零和子集的子集的最小整数。我们的证明秉承组合零定理(Combinatorial Nullstellensatz)的精神。