有限域向量空间中的零和子集

Olson常数 $\mathcal{O}L(\mathbb{F}_{p}^{d})$ 表示最小正整数 $t$，使得每个基数为 $t$ 的子集 $A\subset \mathbb{F}_{p}^{d}$ 均包含和为零的非空子集。估计 $\mathcal{O}L(\mathbb{F}_{p}^{d})$ 的问题是加性组合学中最古老的问题之一，即便对于 $d=1$ 的情形也有着漫长而有趣的历史。本文中，我们证明对任意固定的 $d \geq 2$ 与 $\epsilon > 0$，当所有充分大的素数 $p$ 时，$\mathbb{F}_{p}^{d}$ 的Olson常数满足不等式 $$\mathcal{O}L(\mathbb{F}_{p}^{d}) \leq (d-1+\epsilon)p$$。这解决了Hoi Nguyen与Van Vu的一个猜想。