关于 $L_p$ 子空间的 Dvoretzky 定理

我们证明,对于任意 $2<p<\infty$ 以及 $L_p$ 的每个 $n$ 维子空间 $X$(表示在 $\mathbb R^n$ 上,其单位球 $B_X$ 处于 Lewis 位置),成立以下两层高斯集中不等式: $$\mathbb P\left( \big| \|Z\| - \mathbb E\|Z\| \big| > \varepsilon \mathbb E\|Z\| \right) \leq C \exp \left (- c \min \left\{ \alpha_p \varepsilon^2 n, (\varepsilon n)^{2/p} \right\} \right), \quad 0<\varepsilon<1 ,$$ 其中 $Z$ 是标准 $n$ 维高斯向量,$\alpha_p>0$ 是仅依赖于 $p$ 的常数,$C,c>0$ 是绝对常数。作为推论,我们给出了这些空间几乎球型截面的维数最优下界。特别地,对于任意 $2<p<\infty$ 和 $L_p$ 的每个 $n$ 维子空间 $X$,欧氏空间 $\ell_2^k$ 可以 $(1+\varepsilon)$-嵌入到 $X$ 中,其中 $k\geq c_p \min\{ \varepsilon^2 n , (\varepsilon n)^{2/p}\}$,$c_p>0$ 是仅依赖于 $p$ 的常数。这改进了 Figiel、Lindenstrauss 和 V. Milman 先前已知的估计。