$\ell_p$ 中不可压子集的 $\varepsilon$-等距降维

固定 $p\in[1,\infty)$、$K\in(0,\infty)$ 及概率测度 $\mu$。我们证明对任意 $n\in\mathbb{N}$、$\varepsilon\in(0,1)$ 以及 $x_1,\ldots,x_n\in L_p(\mu)$ 且满足 $\big\| \max_{i\in\{1,\ldots,n\}} |x_i| \big\|_{L_p(\mu)} \leq K$，存在 $d\leq \frac{32e^2 (2K)^{2p}\log n}{\varepsilon^2}$ 及向量 $y_1,\ldots, y_n \in \ell_p^d$ 使得 $$\forall \ i,j\in\{1,\ldots,n\}, \qquad \|x_i-x_j\|^p_{L_p(\mu)}- \varepsilon \leq \|y_i-y_j\|_{\ell_p^d}^p \leq \|x_i-x_j\|^p_{L_p(\mu)}+\varepsilon.$$ 此外，该论证意味着存在一种贪心算法，在接收 $\{x_i\}_{i=1}^n$ 为输入后输出 $\{y_i\}_{i=1}^n$。证明依赖于 Maurey 经验方法（1981）的去随机化版本，结合 Ball（1990）的组合思想以及 $L_p(\mu)$ 空间的经典分解理论。受上述嵌入启发，我们引入赋范空间 $(E,\|\cdot\|_E)$ 的单位球 ${\bf B}_E$ 的 $\varepsilon$-等距降维概念，并证明对任意 $p\neq2$ 的值 ${\bf B}_{\ell_p}$ 不容许由线性算子实现的 $\varepsilon$-等距降维。