单位体积体内体积为$\varepsilon$的子集间距离的无维估计

单位体积体$K \subset \mathbb{R}^n$中两点的平均距离随$n \to \infty$趋于无穷。然而，对于体积$\varepsilon > 0$的两个小子集，情况不同。对于单位体积立方体与欧氏球，最大距离量级为$\sqrt{-\ln \varepsilon}$；对于单纯形与超八面体为$-\ln \varepsilon$量级；对于$p \in [1;2]$的$\ell_p$球为$(-\ln \varepsilon)^{\frac{1}{p}}$量级。这些估计不依赖于维数$n$。本文旨在研究此现象。等周不等式将在我们的方法中起关键作用。