凸体内随机点平均距离的尖锐不等式

对于凸体$K\subset\mathbb{R}^d$,平均距离$\Delta(K)=\mathbb{E}|X_1-X_2|$是两个独立且均匀分布的随机点$X_1,X_2\in K$的期望欧氏距离。我们推导了$\Delta(K)$与$K$的第一内禀体积$V_1(K)$(归一化平均宽度)之比的最优下界与上界,并讨论了退化的极值情形。论证依赖于Riesz重排不等式以及凹函数幂次优化问题的解。我们详细回顾了与已有文献结果的关系。