关于 $L_p$ 子空间的极值截面

设 $m,n\in\mathbb{N}$ 且 $p\in(0,\infty)$。对于有限维拟赋范空间 $X=(\mathbb{R}^m, \|\cdot\|_X)$，令 $$B_p^n(X) = \Big\{ (x_1,\ldots,x_n)\in\big(\mathbb{R}^{m}\big)^n: \ \sum_{i=1}^n \|x_i\|_X^p \leq 1\Big\}.$$ 我们证明，对于每一个 $p\in(0,2)$ 以及可等距嵌入 $L_p$ 的 $X$，函数 $$S^{n-1} \ni \theta = (\theta_1,\ldots,\theta_n) \longmapsto \Big| B_p^n(X) \cap\Big\{(x_1,\ldots,x_n)\in \big(\mathbb{R}^{m}\big)^n: \ \sum_{i=1}^n \theta_i x_i=0 \Big\} \Big|$$ 是 $(\theta_1^2,\ldots,\theta_n^2)$ 的 Schur 凸函数，其中 $|\cdot|$ 表示 Lebesgue 测度。特别地，当 $\theta=\big(\frac{1}{\sqrt{n}},\ldots,\frac{1}{\sqrt{n}}\big)$ 时它取最小值，当 $\theta=(1,0,\ldots,0)$ 时取最大值。这是关于适当高斯随机向量范数的 Laplace 变换的一个更一般性陈述的推论，该陈述在 $X$ 的单位球 $B_X$ 处于 Lewis 位置时也给出了极体 $\big(B_p^n(X)\big)^\circ$ 的投影平均宽度的对偶估计。最后，我们对任意拟赋范空间 $X=(\mathbb{R}^m,\|\cdot\|_X)$ 的 $B_\infty^n(X)$ 的投影体积给出了一个下界。