关于高维高斯、球和球面关联的最大函数

我们证明，对于每个$p\in (1,\infty)$，范数$L^p(\mathbb{R}^d)$上的与高斯（热 semigroups）、球（Hardy-Littlewood 平均）和球面（球面平均）相关的最大函数，当维数$d\to \infty$时，收敛到同一数量$\lambda(p)$。这由以下事实推导而来：范数$L^2(\mathbb{R}^d)$上的与高斯、球和球面平均差异相关的最大函数，当维数$d$增加时收敛到零。通过对这些平均值对应的傅里叶乘积符号的估计、一个允许我们通过乘积算子本身的范数来控制与傅里叶乘积算子相关的最大函数范数的一般原则，以及高维高斯随机向量的集中性质，我们证明了这一事实。此外，依据热 semigroups$\mathcal{G}_\ast^d$的$d$维最大函数的性质，我们显示$\lambda(p)$满足\n$$\frac25\frac{p}{p-1}\le\|\mathcal{G}_\ast^1\|_{L^p(\mathbb{R})\rightarrow L^p(\mathbb{R})}\le \lambda(p)\le \frac{p}{p-1}.$$ \n具体而言，通过证明热 semigroups的最大函数在$d$中单调递增，我们获得了中间不等式。