关于离散 Hardy-Littlewood 极大函数无维数估计的若干注记

我们将研究作用在 $\mathbb R^d$ 与 $\mathbb Z^d$ 上的凸对称体上的 Hardy--Littlewood 平均算子的极大函数之间，强型与弱型估计中最优常数对维数的依赖关系。首先，我们在全范围 $p\in[1,\infty]$ 上表明，$L^p(\mathbb R^d)$ 中的这些最优常数总是不大于其在 $\ell^p(\mathbb Z^d)$ 中的离散对应常数；并且我们表明在 $p=1$ 的情形下方体取等号。这特别蕴含了与 $\mathbb Z^d$ 中中心方体相关的离散 Hardy--Littlewood 极大函数的弱型 $(1,1)$ 不等式的最佳常数随 $d\to\infty$ 趋于无穷，而当 $d=1$ 时它等于二次方程 $12C^2-22C+5=0$ 的最大根。其次，我们证明了对应于 $q$-球（$q\in[2,\infty)$）且尺度受限为 $t\geq C_q d$ 的离散 Hardy--Littlewood 极大算子在 $\ell^p(\mathbb Z^d)$ 范数（$p\in(1,\infty]$）上的无维数估计。最后，我们将后一结果推广到限制于二进尺度 $2^n\ge C_q d^{1/q}$ 的极大算子在 $\ell^2(\mathbb Z^d)$ 上的情形。