非中心Hardy-Littlewood极大函数连续模的最优界

我们通过积分公式，以给定函数的连续模为变量，得到了非中心极大函数连续模的精确界。从这些公式推导出的部分结果如下：在 $\mathbb{R}$ 的真子区间上，Lipschitz 和 Hölder 函数的最佳常数为 $\operatorname{Lip}_\alpha ( Mf) \le (1 + \alpha)^{-1}\operatorname{Lip}_\alpha( f)$，$\alpha\in (0,1]$。在 $\mathbb{R}$ 上，Lipschitz 函数的最佳界为 $\operatorname{Lip} ( Mf) \le (\sqrt2 -1)\operatorname{Lip}( f)$。在高维情形下，我们确定了与交叉多面体、欧几里得球和立方体（即 $p = 1, 2, \infty$ 时的 $\ell_p$ 球）相关的极大算子范数当 $d\to\infty$ 时的渐近行为。我们针对任意连续模完成了这一工作。在 Lipschitz 和 Hölder 函数的特定情形下，极大算子的算子范数一致有界于 $2^{-\alpha/q}$，其中 $q$ 是 $p=1,2$ 的共轭指数，且当 $d\to\infty$ 时范数趋近于该界。当 $p=\infty$ 时，最佳常数与 $p=1$ 时相同。