球面与高斯空间浓度不等式中的最优常数

我们证明了若干种在球面上（即以 $n\geq 3$ 时单位球面测度 $\mu$ 为基准的）的浓度不等式变体，表述为带最优常数的子高斯估计。对于 Lipschitz 函数，我们给出偏离中位数及均值的数的一侧和双侧界限。例如，若 $\mu$ 为 $S^{n-1}$ 的标准化面积测度，$f : S^{n-1} \to \mathbb{R}$ 为1-Lipschitz，$M$ 为 $f$ 的中位数，$t >0$，则 $\mu\big(f \geq M +t\big) \leq \frac 12 e^{-nt^2/2}$。若 $M$ 为 $f$ 的均值，则有双侧界限 $\mu\big(|f - M| \geq t\big) \leq e^{-nt^2/2}$。因此，若 $\gamma$ 为 $\mathbb{R}^n$ 的标准高斯测度，$f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$ 同样为1-Lipschitz且均值为 $M$，则 $\gamma \big(|f - M| \geq t\big) \leq e^{-t^2/2}$。这些界限在文献中略优于现有结果，亦相对更为优美。