关于凸函数高斯集中现象的紧性

高斯空间中的测度集中现象表明，对于任意 $L$-Lipschitz 映射 $f$ 在 $\mathbb R^n$ 上，满足 $$\gamma_{n} \left(\{ x : | f(x) - M_{f} | \geqslant t \} \right) \leqslant 2 e^{ - \frac{t^2}{ 2L^2} }, \quad t>0,$$ 其中 $\gamma_{n}$ 是 $\mathbb R^{n}$ 上的标准高斯测度，$M_{f}$ 是 $f$ 的一个中位数。在这项工作中，我们给出了当额外假设 $f$ 为凸函数时，该不等式在相差通用常数意义下可被反转的充分必要条件。特别地，我们证明，如果方差 ${\rm Var}(f)$（关于 $\gamma_{n}$）对某个 $0<\alpha \leqslant 1$ 满足 $\alpha L \leqslant \sqrt{ {\rm Var}(f) }$，那么 $$\gamma_{n} \left(\{ x : | f(x) - M_{f} | \geqslant t \}\right) \geqslant c e^{ -C \frac{t^2}{ L^2} } , \quad t>0 ,$$ 其中 $c,C>0$ 是仅依赖于 $\alpha$ 的常数。