矩测度与高斯不等式的稳定性

设 $\gamma$ 为 $\mathbb{R}^n$ 上的标准高斯测度，令 $\mathcal{P}_{\gamma}$ 为关于 $\gamma$ 绝对连续的概率测度空间。我们研究泛函 $\mathcal{F}_{\gamma}(\mu) = {\rm Ent}(\mu) - \frac{1}{2} W^2_2(\mu, \nu)$ 的下界，其中 $\mu \in \mathcal{P}_{\gamma}, \nu \in \mathcal{P}_{\gamma}$，${\rm Ent}(\mu) = \int \log\bigl( \frac{\mu}{\gamma}\bigr) d \mu$ 为相对高斯熵，$W_2$ 为二次 Kantorovich 距离。$\mathcal{F}_{\gamma}$ 的极小元是（实）K\"ahler-Einstein 方程的无维数高斯类比的解。我们证明在 $\nu$ 的高斯 Fisher 信息有限的假设下 $\mathcal{F}_{\gamma}(\mu)$ 有下界，并给出极小元的先验估计。我们的方法依赖于高斯 log-Sobolev 与 Talagrand 传输不等式的某些稳定性估计。