参数化曲线的平均距离问题

我们考虑在长度惩罚下用参数化曲线逼近一个测度。即对于给定的有限正紧支集测度 $\mu$，对于 $p \geq 1$ 和 $\lambda>0$，我们考虑泛函 $$E(\gamma) = \int_{\mathbb{R}^d} d(x, \Gamma_\gamma)^p d\mu(x) + \lambda \,\textrm{Length}(\gamma)$$ 其中 $\gamma:I \to \mathbb{R}^d$，$I$ 是 $\mathbb{R}$ 中的区间，$\Gamma_\gamma = \gamma(I)$，且 $d(x, \Gamma_\gamma)$ 是 $x$ 到 $\Gamma_\gamma$ 的距离。该问题与平均距离问题密切相关，后者的容许类是具有有限 Hausdorff 测度 $\mathcal H^1$ 的连通集，同时也与统计学中研究的（正则化）主曲线有关。我们获得了极小元的正则性，形式为关于极小元全曲率的估计。我们证明了对于支撑在二维空间中的测度 $\mu$，若 $p \geq 2$ 或 $\mu$ 具有有界密度，则极小化曲线是单射的。这确立了在参数化曲线上极小化等价于在嵌入曲线上极小化，从而证实了该问题具有几何解释。