具有周长正则化的不相交形状间的最小Wasserstein距离

我们证明了以下双重极小化问题全局极小值的存在性：$$\inf\Big\{ P(E) + \lambda W_p(\mathcal{L}^n \lfloor \, E,\mathcal{L}^n \lfloor\, F) \colon |E \cap F| = 0, \, |E| = |F| = 1\Big\},$$ 其中 $P(E)$ 表示集合 $E$ 的周长，$W_p$ 是Borel概率测度之间的 $p$-Wasserstein 距离，$\lambda > 0$ 是任意的。该结果在所有空间维度、所有 $p \in [1,\infty)$ 以及所有正的 $\lambda$ 下均成立。这回答了Buttazzo、Carlier和Laborde的一个问题。