渐趋集中概率测度的 Wasserstein 收敛速率

对于 $\ell\colon \mathbb{R}^d \to [0,\infty)$，我们考虑概率测度序列 $\left(\mu_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$，其中 $\mu_n$ 由正比于 $\exp(-n\ell)$ 的密度确定。只要 $\ell$ 的全局极小点构成紧流形的有限并，我们允许其有无限多个。在此情形下，我们给出了 $\left(\mu_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ 到其极限测度的 $p$-Wasserstein 收敛的估计。在施加正则性条件后，我们得到 $n^{-1/(2p)}$ 的收敛速度；进一步加入一项技术性假设，可将其改进为对所有阶数 $p\in\mathbb{N}$ 的 Wasserstein 距离均成立的、与 $p$ 无关的 $1/2$ 速率。