实线上概率测度由确定性经验测度在 Wasserstein 距离下的逼近速率

我们关注实线上具有有限 $\rho$ 阶矩的概率测度 $\mu$ 由 $N$ 个确定性点的经验测度在指标 $\rho\ge 1$ 的 Wasserstein 距离下的逼近。最小误差随 $N\to+\infty$ 收敛于 $0$，我们试图刻画与该收敛相伴的阶。在 \cite{xuberger} 中，Xu 与 Berger 表明，除 $\mu$ 为狄拉克质量且误差消失的情形外，阶不大于 $1$，并给出了以 $\mu$ 关于勒贝格测度的绝对连续部分的密度表示的阶等于该阈值 $1$ 的充分条件。他们还证明当 $\mu$ 的支撑有界时阶不小于 $1/\rho$，而当支撑不是区间时阶不大于该值。我们补充这些结果：验证了若阶落于区间 $\left(1/\rho,1\right)$ 则支撑必有界，并给出了以 $\mu$ 的尾部表示的阶等于区间 $\left(0,1/\rho\right)$ 中某给定值的充要条件，从而明确了 \cite{xuberger} 中基于矩给出的充分条件。着眼于实际应用，我们强调在关于最小误差收敛阶的每一结果的证明中，都给出了以 $\mu$ 的分位函数显式表示的点的选取，其展现出相同的收敛阶。