基于 Wasserstein 投影的凸序概率测度采样

在本文中，对于 $\mathbb{R}^d$ 上两个具有 $\rho\ge 1$ 阶有限矩的概率测度 $\mu$ 和 $\nu$，我们定义了 $\mu$ 和 $\nu$ 在 $W_\rho$-Wasserstein 距离下到被 $\nu$ 支配的概率测度集合以及凸序下大于 $\mu$ 的概率测度集合的相应投影。当 $\mu$ 和 $\nu$ 具有有限支撑时，可通过求解带线性约束的二次优化问题轻松计算 $\mu$ 的 $W_2$-投影。在维度 $d=1$ 时，Gozlan 等人~(2018) 已证明这些投影不依赖于 $\rho$。我们显式给出了它们关于 $\mu$ 和 $\nu$ 的分位数函数。其动机在于设计保持凸序的采样技术，以利用线性规划求解器逼近鞅最优传输问题。我们证明了基于 Wasserstein 投影的采样方法在样本量趋于无穷时的收敛性，并通过数值实验加以说明。