高斯平滑 Wasserstein 距离的两样本推断：有限矩情形

高斯平滑已成为降低最优传输样本复杂度的有效技术。本文研究 $\mathbb{R}^d$ 上高斯平滑 Wasserstein 距离的两样本插值估计器 $T_p^{(\sigma)}(\mu,\nu)=W_p(\mu*\gamma_\sigma,\nu*\gamma_\sigma)^p$。在固定平滑且有限多项式矩 $M_{q_\mu}(\mu)<\infty$, $M_{q_\nu}(\nu)<\infty$（其中 $q_\mu,q_\nu>p$）的条件下，我们建立概率意义下阶为 $\rho_{q_\mu,p,d}(m)+\rho_{q_\nu,p,d}(n)$ 的上界。此处 $\rho_{q,p,d}(N)=N^{-(q-p)/(q+d)}$ 当 $p<q<d+2p$ 时，$N^{-1/2}\log N$ 当 $q=d+2p$ 时，以及 $N^{-1/2}$ 当 $q>d+2p$ 时。该阶次在 $q_\mu,q_\nu\ge2p$ 时也适用于期望意义下。当平滑后的总体距离为正时，成本界限可给出该速率。对于 $p>1$ 且 $q_\mu,q_\nu>d+2p$，我们还推导了一阶展开、一个分离的两样本中心极限定理，以及一个样本分割方差估计器。