通过最优传输寻找最接近给定测度的高斯混合模型

给定确定的（多变量）概率测度 $\mu$，我们特征化在参数 $(m,\Sigma)$ 上的高斯混合 $\nu_\phi$，其混合概率测度 $\phi$ 在紧致集合 $S$ 上受支配，且使 Wasserstein距离 $W_2(\mu,\nu_\phi)$ 最小。（i）我们首先表明，此类混合模型是特定最优传输（OT）问题的最优解，其中OT问题的边际 $\nu_{\phi}$ 也未知，由混合测度变量 $\phi$ 决定。（ii）利用高斯测度的某一特定性质，这一最优传输可视为广义矩问题（GMP），若参数集合 $(m,\Sigma)$ 构成基本紧致半代数可描述集，则我们提供一种无网格的数值方案，通过求解尺度递增的半正定松弛层来近似最优距离。特别地，我们既不假设混合测度是有限支撑的，也不假设所有分量的方差相同。若原始测度 $\mu$ 不是参数 $(m,\Sigma) \in S$ 的高斯混合，则在等级结构的有限步中检测到严格正的距离。若原始测度 $\mu$ 是参数 $(m,\Sigma) \in S$ 的高斯混合，则等级结构的所有半正定松弛均具有相同的零最优值。此外，若混合测度为有限支撑原子测度，其分量可在等级结构的某一半正定松弛中从最优解中提取出来（当Curto & Fialkow的平坦条件对某矩矩阵成立时）。