涉及奇异基测度的概率测度空间上的传输型度量

我们发展了一类度量的理论,称之为基于 $\nu$ 的 Wasserstein 度量并记为 $W_\nu$,定义在域 $X \subseteq \mathbb{R}^m$ 上概率测度集 $\mathcal P(X)$ 上。该度量基于相对于基测度 $\nu$ 的广义测地线的概念的一个细微改进,并且在 $\nu$ 关于 $m$ 维 Lebesgue 测度奇异的情形下尤其相关;它也与线性化最优传输的概念密切相关。基于 $\nu$ 的 Wasserstein 度量通过一个涉及向 $\nu$ 的最优传输的迭代变分问题来定义;我们也通过经典 Wasserstein 距离在条件概率之间的积分以及某些多边际最优传输问题极限来刻画它。当我们改变基测度 $\nu$ 时,基于 $\nu$ 的 Wasserstein 度量在通常的二次 Wasserstein 距离与当 $\nu$ 充分正则时获得的由唯一定义的广义测地线相关联的度量之间插值。当 $\nu$ 集中在 $\mathbb{R}^m$ 的低维子流形上时,我们证明基于 $\nu$ 的 Wasserstein 距离定义中的变分问题有唯一解。我们建立了通常的函数类以及源测度 $\mu$ 集合的测地凸性,其中 $\mu$ 与 $\nu$ 之间的最优传输满足 \cite{McCannPass20} 中引入的广义嵌套条件的一个加强版本。我们最后引入上述对偶度量的一个细微变体,以证明求解博弈论中出现的变分问题的迭代格式的收敛性。