基于随机矩阵改进的二中心高斯分布间 Wasserstein 距离估计

本文提出一种方法，当维度 $p$ 与（零均值）样本 $x_i^{(a)}$ 的数量 $n_a$ 相当时，基于经验估计 $\lambda_i(\hat C_1\hat C_2)$（$\hat C_a=\frac1{n_a}\sum_{i=1}^{n_a} x_i^{(a)}x_i^{(a){{\sf T}}}$）一致地估计两个协方差矩阵 $C_1,C_2\in\mathbb{R}^{p\times p}$ 乘积特征值的函数 $\frac1p\sum_{i=1}^pf(\lambda_i(C_1C_2))$。作为推论，导出了中心高斯分布间 Wasserstein 距离（对应于 $f(t)=\sqrt{t}$ 的情形）的一致估计。新估计被证明大幅优于经典的基于样本协方差的“插件”估计量。基于此发现，进而设计了一种协方差估计的实际应用，相较于最先进的替代方法展现出潜在显著的性能提升。