Wasserstein 距离、Fourier 级数及其应用

我们从 Fourier 分析的角度研究了 Wasserstein 度量 $W_p$（即两个概率分布之间的一种距离概念），并讨论了其应用。特别地，我们证明了有限域 $\mathbb{F}_p$ 中二次剩余的分布与均匀分布之间的 Earth Mover Distance $W_1$ 被 $\lesssim p^{-1/2}$ 所界（Polya-Vinogradov 不等式给出 $\lesssim p^{-1/2} \log{p}$）。我们还证明了，对于均值为 0 的连续函数 $f:\mathbb{T} \rightarrow \mathbb{R}_{}$，有 $$(\mbox{number of roots of}~f) \cdot \left( \sum_{k=1}^{\infty}{ \frac{ |\hat{f}(k)|^2}{k^2}}\right)^{\frac{1}{2}} \gtrsim \frac{\|f\|^{2}_{L^1(\mathbb{T})}}{\|f\|_{L^{\infty}(\mathbb{T})}}.$$ 此外，我们证明了对于紧 Riemann 流形上的 Laplace 特征函数 $-\Delta_g \phi_{\lambda} = \lambda \phi_{\lambda}$，有 $W_p\left(\max\left\{\phi_{\lambda}, 0\right\}dx, \max\left\{-\phi_{\lambda}, 0\right\} dx\right) \lesssim_p \sqrt{\log{\lambda}/\lambda} \|\phi_{\lambda}\|_{L^1}^{1/p}$，该结果距离最优界至多相差 $\sqrt{\log{\lambda}}$ 倍。本文还讨论了若干其他问题。