基于同单调 Copula 的 Wasserstein 距离

本文旨在用 Copula 表示 $\R^d$ 上带有 $p$-范数（$p\in [1,\infty)$）的 $p$-Wasserstein 度量 $W_p$。特别地，对于一维分布的情形，我们得出用于获得 Wasserstein 距离最优耦合的 Copula 是同单调 Copula。在这些分布具有与其一维边缘相同的依赖结构（即这些 $d$ 维分布共享相同的 Copula）的充分必要条件下，我们也得到了 $d$ 维分布的等价结果。假设 $p\neq q$，$p,q$ $\in [1,\infty)$ 且概率测度 $\mu$ 和 $\nu$ 共享相同的 Copula，我们还分析了 \cite{Alfonsi} 中讨论的 Wasserstein 距离 $W_{p,q}$，并得到了用 $W_p$ 表示的 $W_{p,q}$ 的上下界，该上下界通过同单调 Copula 写出。我们表明，作为推论，$W_{p,q}$ 的上下界可以用广义反函数表示。