基于共单调Copula的Wasserstein距离表示

在本文中，我们通过重温已有结果，针对 $\R^d$ 上的概率测度，用共单调copula表示 $p$ 阶Wasserstein度量，其中 $p\in [1,\infty)$。1973年，Vallender建立了 $d=1$ 时 $1$-Wasserstein度量与相应分布函数之间的联系。1956年，Giorgio dall'Aglio指出 $d=1$ 时的 $p$-Wasserstein度量可以用共单调copula $M$ 表示，而当时他并未意识到copula或Wasserstein度量的概念。在本文中，我们在证明中显式地结合了copula理论与Wasserstein度量的工具。如 \cite{Alfonsi} 和 \cite{BDS} 中所讨论，推广到一般 $d\in\N$ 存在一些限制。\cite{Alfonsi}、\cite{BDS} 和 \cite{RR} 中的部分结果在此处以更显式的形式基于共单调copula被重新讨论。