平滑化 Wasserstein 距离的渐近性

我们研究了 $\mathbb{R}^d$ 上 Wasserstein 距离在高斯平滑下的收缩性。众所周知，在具有正曲率的流形上，热半群关于 Wasserstein 距离是指数收缩的；然而，在平坦的欧氏空间上——其中热半群对应于通过高斯卷积对测度进行平滑——情况更为微妙。我们证明了欧氏热半群作用下 $2$-Wasserstein 距离的精确渐近性，并表明与正曲率情形相反，收缩率总是多项式的，其指数依赖于测度的矩序列。我们对 $p \neq 2$ 的 $p$-Wasserstein 距离以及 $\chi^2$ 散度、相对熵和全变距离建立了类似的结果。总之，这些结果确立了矩匹配论证在分析由高斯卷积平滑的测度中的核心作用。