负曲率扩散半群的 Wasserstein 距离指数收缩

设 $P_t$ 为在无边界或带凸边界的完备连通黎曼流形 $M$ 上由加权拉普拉斯算子生成的（Neumann）扩散半群 $P_t$。众所周知，Bakry-Emery 曲率以下界为正常数 $\ll>0$ 当且仅当 $$W_p(\mu_1P_t, \mu_2P_t)\le \e^{-\ll t} W_p (\mu_1,\mu_2),\ \ t\ge 0, p\ge 1$$ 对 $M$ 上所有概率测度 $\mu_1$ 和 $\mu_2$ 成立，其中 $W_p$ 是由黎曼距离诱导的 $L^p$ Wasserstein 距离。本文中，我们证明了对一类具有负曲率的扩散半群，存在常数 $c,\ll>0$ 使得指数收缩 $$W_p(\mu_1P_t, \mu_2P_t)\le c\e^{-\ll t} W_p (\mu_1,\mu_2),\ \ p\ge 1, t\ge 0$$ 成立，其中常数 $c$ 本质上大于 $1$。利用系数的显式条件，我们推导了带乘性噪声的随机微分方程（SDEs）的类似结果，这些结果即使对带加性噪声的 SDEs 也是新的。