紧致空间上经验测度与随机游走在二次 Wasserstein 度量下的研究

估计独立同分布样本的经验测度收敛到参考测度的速率是概率论中的经典问题。在本文中，我们推广了 Ambrosio、Stra 和 Trevisan 关于二维流形的近期结果，证明了在 $d$ 维紧致黎曼流形上二次 Wasserstein 度量 $W_2$ 中平均速率的尖锐渐近与非渐近上界。在参考测度光滑性假设下，我们的界与 Ajtai、Komlós、Tusnády 和 Talagrand 关于单位立方体上最优匹配问题的经典速率一致。独立同分布条件被放宽为具有混合条件的平稳样本。作为非平稳样本的例子，我们还考虑了紧致李群上随机游走的经验测度。令人惊讶的是，在半单群上，即使没有谱隙假设，随机游走也几乎达到最优速率。证明基于傅里叶分析，特别是基于紧致流形上 $W_2$ 的 Berry-Esseen 光滑不等式，这是一个具有广泛应用的独立有趣结果。